Գրիգոր Մղդեսյանը մասնագիտացած է քրեական իրավունքի ոլորտում։
Աշխատանքային գործունեությունը սկսել է 2011 թվականից։ Աշխատել է ՀՀ ոստիկանության քննչական գլխավոր վարչության ենթակա ստորաբաժանումներում, հանդիսացել է քննիչ, ապա` ավագ քննիչ։ Ստացել է արդարադատության երրորդ դասի խորհրդականի կոչում։
2017-ից 2019 թվականներին աշխատել է նաև ՀՀ հատուկ քննչական ծառայությունում՝ որպես ՀԿԳ քննիչ։
Ապա 2019-ից 2021 թվականներին հանդիսացել է ՀՀ քննչական կոմիտեի Կենտրոն և Նորք-Մարաշ վարչական շրջանների քննչական բաժնի պետի տեղակալը։
2021-ից 2024 թվականն աշխատանքային գործունեությունը իրականացրել է ՀՀ դատախազությունում՝ որպես զինվորական գործերով դատախազ:
2025 թվականից հանդիսանում է Փաստաբանների պալատի անդամ, պաշտպանում է հաճախորդների շահերը բոլոր տեսակի քրեական գործերով։