Григор Мгдесян специализируется в области уголовного права.
Свою профессиональную деятельность он начал в 2011 году, работая в подразделениях Главного следственного управления Полиции РА, где занимал должности следователя, а затем старшего следователя. Ему было присвоено звание советника юстиции третьего класса.
С 2017 по 2019 годы работал в Специальной следственной службе РА в качестве следователя по особо важным делам.
Затем, с 2019 по 2021 годы, занимал должность заместителя начальника следственного отдела по административным районам Кентрон и Норк-Мараш Следственного комитета РА.
С 2021 по 2024 годы осуществлял деятельность в Прокуратуре РА в качестве прокурора по военным делам.
С 2025 года является членом Палаты адвокатов, защищает интересы клиентов по всем видам уголовных дел.
